在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{10}=1$，$F$ 为 $C$ 的上焦点，$A$ 为 $C$ 的右顶点，$P$ 是 $C$ 上位于第一象限内的动点，则四边形 $OAPF$ 的面积的最大值为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $P\left(3\cos\theta,\sqrt{10}\sin\theta\right)$，$\theta\in\left(0,\pi\right)$，则四边形 $OAPF$ 的面积\[\begin{split}S&=S_{\triangle OAP}+S_{\triangle OFP}\\
&=\dfrac 12\cdot 3\cdot \sqrt{10}\sin\theta+\dfrac 12\cdot 1\cdot 3\cos\theta\\
&=\dfrac 32\left(\sqrt{10}\sin\theta+\cos\theta\right)\\
&\leqslant \dfrac{3\sqrt{11}}2,\end{split}\]等号当 $\theta=\arctan\dfrac 1{\sqrt{10}}$ 时取得．因此所求面积的最大值为 $\dfrac{3\sqrt{11}}2$．
&=\dfrac 12\cdot 3\cdot \sqrt{10}\sin\theta+\dfrac 12\cdot 1\cdot 3\cos\theta\\
&=\dfrac 32\left(\sqrt{10}\sin\theta+\cos\theta\right)\\
&\leqslant \dfrac{3\sqrt{11}}2,\end{split}\]等号当 $\theta=\arctan\dfrac 1{\sqrt{10}}$ 时取得．因此所求面积的最大值为 $\dfrac{3\sqrt{11}}2$．
题目
答案
解析
备注
