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在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 是双曲线 $x^2-y^2=2010$ 上任意一点．过点 $P$ 向渐近线引垂线，垂足分别为 $M,N$，则四边形 $PMON$ 的面积是 \((\qquad)\) ．
A: $1002$
B: $1005$
C: $2010$
D: 以上答案都不
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的几何量
    >
    双曲线的基本量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    直线与圆锥曲线
    >
    面积计算
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    圆锥曲线的弦长与面积问题
【答案】
B
【解析】
由题可知渐近线方程为$$x\pm y=0,$$设 $P(m,n)$，则\[m^2-n^2=2010,\]设四边形 $PMON$ 的面积为 $S$，则有$$S=\dfrac{|m-n|}{\sqrt2}\cdot\dfrac{|m+n|}{\sqrt2}=\dfrac{m^2-n^2}{2}=1005.$$
题目 答案 解析 备注
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