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已知函数 $f(x)$ 是定义在实数集 $\mathbb R$ 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 $x$ 都有 $xf(x+1)=(1+x)f(x)$，则 $f\left(f\left(\dfrac 52\right)\right)$ 的值是 \((\qquad)\)
A: $0$
B: $\dfrac 12$
C: $1$
D: $\dfrac 52$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的类周期性
  • 知识点
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    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的奇偶性
【答案】
A
【解析】
根据题意，有 $f(0)=0$，且\[f(x+1)=\dfrac{1+x}x\cdot f(x),x\ne 0.\]考虑到函数 $f(x)$ 的类周期为 $1$，且为偶函数，因此有\[\begin{cases} f\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{1-\dfrac 12}{-\dfrac 12}\cdot f\left(-\dfrac 12\right),\\ f\left(-\dfrac 12\right)=f\left(\dfrac 12\right),\end{cases}\]解得\[f\left(-\dfrac 12\right)=f\left(\dfrac 12\right)=0.\]进而根据函数 $f(x)$ 的类周期性可得\[f\left(k+\dfrac 12\right)=0,k\in\mathbb Z,\]因此\[f\left(f\left(\dfrac 52\right)\right)=f(0)=0.\]
题目 答案 解析 备注
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