若对任意实数 $x,y\in [0,+\infty)$，$4ax\leqslant {\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}+2$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
取 $y=0$，则有\[\forall x>0,2a\leqslant \dfrac{
{\rm e}^{x-2}+1}{x}.\]记右侧函数为 $f(x)$，则其导函数\[f'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-2}(x-1)-1}{x^2},\]考虑到\[\left({\rm e}^{x-2}(x-1)\right)'={\rm e}^{x-2}\cdot x>0,\]于是 $f
'(x)$ 有唯一零点 $x=2$，于是 $f(x)$ 有极小值，亦为最小值\[f(2)=1.\]因此 $a\leqslant \dfrac 12$．接下来证明 $a=\dfrac 12$ 符合题意，也即\[\forall x,y\geqslant 0,{\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}-2x+2\geqslant 0.\]设左侧函数为 $g(x)$，则\[\begin{split} g(x)&\geqslant 2\left({\rm e}^{x+y-2}\cdot {\rm e}^{x-y-2}\right)^{\frac 12}-2x+2\\
&=2{\rm e}^{x-2}-2x+2\\
&\geqslant 2\left[(x-2)+1\right]-2x+2\\
&=0,\end{split}\]因此不等式成立．
综上所述，实数 $a$ 的最大值为 $\dfrac 12$．
{\rm e}^{x-2}+1}{x}.\]记右侧函数为 $f(x)$，则其导函数\[f'(x)=\dfrac{{\rm e}^{x-2}(x-1)-1}{x^2},\]考虑到\[\left({\rm e}^{x-2}(x-1)\right)'={\rm e}^{x-2}\cdot x>0,\]于是 $f
'(x)$ 有唯一零点 $x=2$，于是 $f(x)$ 有极小值，亦为最小值\[f(2)=1.\]因此 $a\leqslant \dfrac 12$．接下来证明 $a=\dfrac 12$ 符合题意，也即\[\forall x,y\geqslant 0,{\rm e}^{x+y-2}+{\rm e}^{x-y-2}-2x+2\geqslant 0.\]设左侧函数为 $g(x)$，则\[\begin{split} g(x)&\geqslant 2\left({\rm e}^{x+y-2}\cdot {\rm e}^{x-y-2}\right)^{\frac 12}-2x+2\\
&=2{\rm e}^{x-2}-2x+2\\
&\geqslant 2\left[(x-2)+1\right]-2x+2\\
&=0,\end{split}\]因此不等式成立．
综上所述，实数 $a$ 的最大值为 $\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
