已知直线 $l$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 相切于点 $P$，$l$ 与双曲线的两条渐近线交于 $M,N$ 两点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据双曲线的相交直线面积定义，双曲线的方程改写为\[\dfrac{x^2}{2}-2y^2=2,\]可得 $\triangle MON$ 的面积为定值 $2$．记 $\angle MON=\theta$，则\[\tan\theta=\dfrac{2\cdot \dfrac 12}{1-\left(\dfrac 12\right)^2}=\dfrac 43,\]进而\[\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=S_{\triangle MON}\cdot \dfrac{2}{\tan\theta}=3.\]
题目
答案
解析
备注
