在数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=\dfrac 32$，当 $n\in\mathbb N^*$ 且 $n\geqslant 2$ 时，$a_n=1-\dfrac{1}{4a_{n-1}}$，则 $a_{2016}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
考虑到不动点为 $\dfrac 12$，于是将递推公式改造为\[a_n-\dfrac 12=\dfrac{a_{n-1}-\dfrac 12}{2a_{n-1}},\]也即\[\dfrac{1}{a_n-\dfrac 12}=\dfrac{2a_{n-1}}{a_{n-1}-\dfrac 12},\]也即\[\dfrac{1}{a_n-\dfrac 12}-\dfrac{1}{a_{n-1}-\dfrac 12}=2,\]因此数列 $\left\{\dfrac{1}{a_n-\dfrac 12}\right\}$ 是首项为 $1$，公差为 $2$ 的等差数列，可得\[\dfrac{1}{a_n-\dfrac 12}=2n-1,\]进而\[a_n=\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac 12,n\in\mathbb N^*.\]因此\[a_{2016}=\dfrac{1}{2\cdot 2016-1}+\dfrac 12=\dfrac{4033}{8062}.\]
题目
答案
解析
备注
