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设实数 $\lambda>0$，若对任意的 $x\in(0,+\infty)$，不等式 ${\rm e}^{\lambda x}-\dfrac{\ln x}{\lambda}\geqslant 0$ 恒成立，则 $\lambda$ 的最小值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{1}{\rm e}$
B: $\dfrac{1}{2{\rm e}}$
C: $\dfrac{2}{\rm e}$
D: $\dfrac{\rm e}3$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    反函数
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的最值
【答案】
A
【解析】
注意到函数 $f(x)={\rm e}^{\lambda x}$ 的反函数\[f^{-1}(x)=\dfrac{\ln x}{\lambda},\]于是题意即\[\forall x>0,{\rm e}^{\lambda x}\geqslant x,\]即\[\forall x>0,\lambda\geqslant \dfrac{\ln x}{x},\]右侧函数的最大值为 $\dfrac{1}{\rm e}$，因此 $\lambda$ 的最小值为 $\dfrac{1}{\rm e}$．
题目 答案 解析 备注
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