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如图，在边长为 $\sqrt 3$ 的菱形 $ABCD$ 中，$\angle DAB=\dfrac{\pi}3$，$DE=\dfrac 12EC$，$F$ 为线段 $BC$ 的中点，$G$ 为 $EF$ 上的一点，且 $\overrightarrow{AG}=\dfrac 12\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AD}$，则 $\left|\overrightarrow{BG}\right|$ 的值是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt{111}}8$
B: $\dfrac{3\sqrt{17}}8$
C: $\dfrac{\sqrt{79}}8$
D: $\dfrac{\sqrt {66}}8$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的运算
    >
    向量的线性运算
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
【答案】
A
【解析】
记 $\overrightarrow{AD}={\bf a}$，$\overrightarrow{AB}={\bf b}$，则\[\begin{split} \overrightarrow{AE}&={\bf a}+\dfrac 13{\bf b},\\
\overrightarrow{AF}&=\dfrac 12{\bf a}+{\bf b},\\
\overrightarrow{AG}&=\left(t+\dfrac 12\right){\bf a}+\dfrac 12{\bf b},\end{split}\]由于 $E,G,F$ 三点共线，因此\[\begin{cases} t+\dfrac 12=\lambda+\dfrac 12(1-\lambda),\\ \dfrac 12=\dfrac 13\lambda+1-\lambda,\end{cases}\]解得 $\left(t,\lambda\right)=\left(\dfrac 38,\dfrac 34\right)$．于是\[\overrightarrow{AG}=\dfrac 78{\bf a}+\dfrac 12{\bf b},\]进而\[\begin{split} BG&=\sqrt{\left(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}\right)}\\
&=\sqrt{\left(\dfrac 78{\bf a}-\dfrac 12{\bf b}\right)\cdot \left(\dfrac 78{\bf a}-\dfrac 12{\bf b}\right)}\\
&=\sqrt{\dfrac{49}{64}{\bf a}^2-\dfrac 78{\bf a}\cdot {\bf b}+\dfrac 14{\bf b}^2}\\
&=\sqrt{\dfrac{49}{64}\cdot 3-\dfrac 78\cdot \dfrac 32+\dfrac 14\cdot 3}\\
&=\dfrac{\sqrt{111}}8.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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