设 $S_n$ 为正项数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，$a_1=2$，$S_{n+1}(S_{n+1}-2S_n+1)=3S_n(S_n+1)$，记 $T_n=\displaystyle \sum_{i=1}^na_{2i}$，则 ${\log_3}(2T_{10}+1)$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[S_{n+1}^2-(2S_n-1)S_{n+1}-3S_n(S_n+1)=0,\]即\[(S_{n+1}-3S_n)(S_{n+1}+S_n+1)=0,\]也即\[S_{n+1}=3S_n.\]因此\[S_n=2\cdot 3^{n-1},n\in\mathbb N^*,\]进而\[a_{2n}=\dfrac 49\cdot 3^{2n},n\in\mathbb N^*,\]因此\[T_n=\dfrac 12\left(3^{2n}-1\right),\]进而\[{\log_3}(2T_n+1)=
2n.\]当 $n$ 取 $10$ 时，该式的值为 $20$．
2n.\]当 $n$ 取 $10$ 时，该式的值为 $20$．
题目
答案
解析
备注
