已知正实数 $a,b$ 满足 $a+b=4$，则 $\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}$ 的最大值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} m&=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac b{b^2+1}\\
&=\dfrac{ab(a+b)+a+b}{a^2b^2+a^2+b^2+1}\\
&=\dfrac{4(ab+1)}{a^2b^2-2ab+17}\\
&=\dfrac{4}{ab+1+\dfrac{20}{ab+1}-4}\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt 5+1}{4},\end{split}\]等号当 $ab=2\sqrt 5-1$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{\sqrt 5+1}4$．
&=\dfrac{ab(a+b)+a+b}{a^2b^2+a^2+b^2+1}\\
&=\dfrac{4(ab+1)}{a^2b^2-2ab+17}\\
&=\dfrac{4}{ab+1+\dfrac{20}{ab+1}-4}\\
&\leqslant \dfrac{\sqrt 5+1}{4},\end{split}\]等号当 $ab=2\sqrt 5-1$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{\sqrt 5+1}4$．
题目
答案
解析
备注
