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如图，在矩形 $OABC$ 中的曲线分别是 $y=\sin x $，$y=\cos x$．$A\left(\dfrac {\pi}{2},0\right)$，$C(0,1)$，在矩形 $OABC$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac {4\left(\sqrt 3-1\right)}{\pi}$
B: $\dfrac {4\left(\sqrt 2-1\right)}{\pi}$
C: $ 4\left(\sqrt 3-1 \right)\pi $
D: $ 4\left(\sqrt 2-1 \right)\pi $
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（一测）
【标注】
  • 题型
    >
    计数与概率
    >
    概率计算题
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    随机事件的概率
    >
    几何概型
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    积分
    >
    原函数与积分公式
【答案】
B
【解析】
根据题意，阴影部分的面积的一半为\[\int_0^{\frac{\pi}4}(\cos x-\sin x){ {\rm d}} x=\sqrt 2-1,\]于是所求概率为\[2\cdot \dfrac{\sqrt 2-1}{\dfrac{\pi}2}=\dfrac{4\left(\sqrt 2-1\right)}{\pi}.\]
题目 答案 解析 备注
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