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数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=1$ 且 $a_n-a_{n-1}=2^{n-1}$（$n \geqslant 2$），则数列 $\left\{\dfrac {2^{n-1}}{a_na_{n+1}}\right\}$ 前 $n$ 项和 $T_n$ 为 \((\qquad)\)
A: $1-\dfrac {1}{2^n-1}$
B: $1-\dfrac {1}{2^{n+1}-1}$
C: $\dfrac 12\left(1-\dfrac {1}{2^n}\right)$
D: $\dfrac 12\left(1-\dfrac {1}{2^{n+1}-1}\right)$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（一测）
【标注】
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列的通项公式
    >
    求数列通项的累加(乘)法
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的前n项和
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    分拆与裂项
【答案】
D
【解析】
由累加法可得\[a_n=2^n-1,n\in\mathbb N^{\ast},\]于是\[\dfrac{2^{n-1}}{a_na_{n+1}}=\dfrac{2^{n-1}}{\left(2^n-1\right)\left(2^{n+1}-1\right)}=\dfrac 12\cdot \left(\dfrac{1}{2^n-1}-\dfrac{1}{2^{n+1}-1}\right),\]于是所求数列的前 $n$ 项和为\[\dfrac 12\left(1-\dfrac{1}{2^{n+1}-1}\right).\]
题目 答案 解析 备注
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