分别令 $x=-1,1,0$，可得\begin{align*}
24&\mid 4a_3,\\
24&\mid 2a_1-3a_2+4a_3,\\
24&\mid 2a_1+3a_2+4a_3,
\end{align*}进而可得\begin{align*}
6&\mid a_1,\\
4&\mid a_2,\\
6&\mid a_3.\\
\end{align*}令 $a_1=6b_1$，$a_2=4b_2$，$a_3=6b_3$，则原问题等价于整数 $b_1,b_2,b_3$ 满足
$1\leqslant b_1\leqslant 4$，$1\leqslant b_2\leqslant 6$，$1\leqslant b_3\leqslant 4$，且对任意整数 $x$，$b_1x^2+b_2x$ 是 $2$ 的倍数．
令 $x=1$，可得\[
2\mid (b_1+b_2),
\]因此 $b_1,b_2$ 模 $2$ 同余（即 $b_1,b_2$ 奇偶性相同）．
而当 $b_1,b_2$ 模 $2$ 同余时，因为 $x^2,x$ 也模 $2$ 同余，所以 $b_1x^2,b_2x$ 模 $2$ 同余，从而得到对任意整数 $x$，$b_1x^2+b_2x$ 是 $2$ 的倍数．
综上所述，只需要 $1\leqslant b_1\leqslant 4$，$1\leqslant b_2\leqslant 6$，$1\leqslant b_3\leqslant 4$，且 $b_1,b_2$ 同奇偶即可，所以满足条件的有序数组 $(a_1,a_2,a_3)$ 的个数为\[(2\cdot 3+2\cdot 3)\cdot 4=48.\]