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设 $a_k\in\{1,2,3,4\}$（$k=1,2,3,4$），对于有序数组 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$，记 $N(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 为 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 中所包含的不同整数的个数，例如 $N(1,1,2,2)=2$，$N(1,2,3,1)=3$．当 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 取遍所有的 $4^4$ 个有序数组时，$N(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 的平均值为 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{173}{64}$
B: $\dfrac{87}{32}$
C: $\dfrac{175}{64}$
D: $\dfrac{11}4$
【难度】
【出处】
2017年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
【答案】
C
【解析】
方法一分别计算 $1,2,3,4$ 的“价值”，可得所求平均值为\[\dfrac{4\displaystyle\sum_{k=1}^{4}{\rm C}_4^k3^{4-k}}{256}=\dfrac{4^4-3^4}{64}=\dfrac{175}{64}.\]方法二按 $N(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 的取值分类．\[\begin{matrix}
N & (a_1,a_2,a_3,a_4) & amount\\ \hline
1 & {\rm A}_4^1 & 4\\
2 & \left({\rm C}_4^1{\rm C}_3^3+\dfrac{{\rm C}_4^2{\rm C}_2^2}{{\rm A}_2^2}\right)\cdot {\rm A}_4^2 & 84\\
3 & \dfrac{{\rm C}_4^2{\rm C}_2^1{\rm C}_1^1}{{\rm A}_2^2}\cdot {\rm A}_4^3 & 144\\
4 & {\rm A}_4^4 & 24\\ \hline
\end{matrix}\]于是所求平均值为\[\dfrac{4\cdot 1+84\cdot 2+144\cdot 3+24\cdot 4}{256}=\dfrac{700}{256}=\dfrac{175}{64}.\]
题目 答案 解析 备注
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