数列 $\{a_n\}$ 的通项是 $a_n=(-1)^n\left(\lambda+\dfrac1{2n}\right)+3$，若此数列的各项都是正数，则 $\lambda$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[\begin{cases} \forall n\in\mathbb N^{\ast}\land 2\mid n,\lambda+\dfrac{1}{2n}+3>0,\\
\forall n\in\mathbb N^{\ast}\land 2\nmid n,(-1)\left(\lambda+\dfrac{1}{2n}\right)+3>0,\end{cases}\]即\[\forall k\in\mathbb N^{\ast},-\dfrac{1}{4k}-3<\lambda<-\dfrac{1}{4k-2}+3,\]也即\[-3\leqslant\lambda<\dfrac 52.\]
\forall n\in\mathbb N^{\ast}\land 2\nmid n,(-1)\left(\lambda+\dfrac{1}{2n}\right)+3>0,\end{cases}\]即\[\forall k\in\mathbb N^{\ast},-\dfrac{1}{4k}-3<\lambda<-\dfrac{1}{4k-2}+3,\]也即\[-3\leqslant\lambda<\dfrac 52.\]
题目
答案
解析
备注
