已知 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足条件 $\cos 3A+\cos 3B+\cos 3C=1$，则 $\triangle ABC$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年第十八届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
根据题意，有\[\cos(3A-2\pi)+\cos3B+\cos3C=1,\]由于\[(3A-2\pi)+3B+3C=\pi,\]于是\[4\sin\dfrac{3A-2\pi}2\sin\dfrac{3B}2\sin\dfrac{3C}2+1=1,\]于是\[\sin\dfrac{3A-2\pi}2\sin\dfrac{3B}2\sin\dfrac{3C}2=0,\]从而 $\dfrac{3A}2,\dfrac{3B}2,\dfrac{3C}2$ 中至少有一个为 $k\pi$，其中 $k$ 为整数．由于 $\dfrac{3A}2,\dfrac{3B}2,\dfrac{3C}2\in\left(0,\dfrac{3\pi}2\right)$ 于是 $A,B,C$ 中至少有一个角为 $\dfrac{2\pi}3$，选项 C 正确．
题目
答案
解析
备注
