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$|x|+|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-2007|$ 的最小值是 \((\qquad)\)
A: $1003^2$
B: $1004^2$
C: $2006^2$
D: $2007^2$
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    常见初等函数
    >
    绝对值函数
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
B
【解析】
设 $f(x)=|x|+|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-2007|$，则函数 $f(x)$ 图象在区间$$(-\infty,0),[0,1),[1,2),\cdots ,[1003,1004),[1004,1005),[1005,1006)\cdots ,[2006,2007),[2007,+\infty)$$的斜率分别为$$-2008,-2006,-2004,\cdots -2,0,2,\cdots 2006,2008.$$所以当 $x=1003$ 或 $x=1004$ 时，$f(x)$ 取得最小值，且最小值为$$2(1+2+\cdots +1003)+1004=1004^2.$$
题目 答案 解析 备注
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