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$O$ 是平面内一点，$A,B,C$ 是平面内与 $O$ 不共线的三个点，$P$ 是 $BC$ 的中点且使等式 $\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}$ 成立，则 $\triangle{ABC}$ 是 \((\qquad)\)
A: 直角三角形
B: 等边三角形
C: 等腰三角形
D: 不等边三角形
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
  • 知识点
    >
    向量
    >
    向量的线性表示
【答案】
C
【解析】
因为$$\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP},$$所以$$\overrightarrow{AP}=\lambda\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right),$$又因为 $P$ 为 $BC$ 中点，所以$$\overrightarrow{AP}=\dfrac 12\overrightarrow{AB}+\dfrac 12 \overrightarrow{AC}.$$所以$$\lambda=\dfrac 12,$$即 $\triangle{ABC}$ 为等腰三角形．
题目 答案 解析 备注
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