如图，点 $O$ 是四边形内一点，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$，且 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}$，则四边形 $ABCD$ 是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
B
【解析】
连接 $AC,BD$，设其交点为 $E$，连接 $OE$，如图．由 $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}$，则点 $E$ 为 $AC,BD$ 的中点，故四边形 $ABCD$ 为平行四边形；
再结合极化恒等式，得\[\begin{split}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}&=\dfrac14AC^2-OE^2,\\\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}&=\dfrac14BD^2-OE^2,\end{split}\]因此 $AC=BD$，故四边形 $ABCD$ 是矩形．
再结合极化恒等式，得\[\begin{split}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}&=\dfrac14AC^2-OE^2,\\\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}&=\dfrac14BD^2-OE^2,\end{split}\]因此 $AC=BD$，故四边形 $ABCD$ 是矩形．
题目
答案
解析
备注
