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对任意 $a\in[-3,2]$，$x^2+(a-4)x+4-2a>0$ 恒成立的 $x$ 的取值范围为 \((\qquad)\)
A: $\left(-\infty,0\right)\cup\left(2,+\infty\right)$
B: $\left(-\infty,2\right)\cup\left(5,+\infty\right)$
C: $\left(-\infty,0\right)\cup\left(5,+\infty\right)$
D: 前三个答案都不对
【难度】
【出处】
2017年北京大学物理秋令营基础学业能力数学测试
【标注】
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解二次不等式
【答案】
C
【解析】
$x\ne 2$ 时，题中不等式左侧为关于 $a$ 的一次函数，因此题意即\[\begin{cases} \left(x^2+(a-4)x+4-2a\right)\Big|_{a=-3}>0,\\ \left(x^2+(a-4)x+4-2a\right)\Big|_{a=2}>0,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} x^2-7x+10>0,\\ x^2-2x>0,\end{cases}\]解得 $x<0$ 或 $x>5$．
题目 答案 解析 备注
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