根据题意，有 $x>y$，题中不等式即\[(x-y)\left(x^2+ky^2\right)\leqslant 1\cdot \left(x^3+2y^3\right),\]也即\[k\leqslant \dfrac{x^3+2y^3}{(x-y)y^2}-\dfrac{x^2}{y^2},\]令 $\dfrac xy=t$，则右侧函数\[\varphi(t)=\dfrac{t^3+2}{t-1}-t^2,\]即\[\varphi(t)=t-1+\dfrac{3}{t-1}+2\geqslant 2+2\sqrt 3,\]等号当 $t=1+\sqrt 3$ 时，即\[x=\left(1+\sqrt 3\right)y,y=\sqrt{\dfrac{\sqrt 3}{\left(1+\sqrt 3\right)^3+2}}\]取得，因此所求实数 $k$ 的最大值为 $2+2\sqrt 3$．