过双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$ 上任意一点 $P$，引与实轴平行的直线，交两渐近线于 $M,N$ 两点，则 $\overrightarrow {PM}\cdot\overrightarrow {PN}$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2006年第十七届"希望杯"全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意设 $P(x_1,y_1)$，由于 $P$ 在双曲线上，因此有$$\dfrac{x_1^2}{a^2}-\dfrac{y_1^2}{b^2}=1.$$易求得 $M,N$ 两点的坐标分别为 $\left(-\dfrac{ay_1}{b},y_1\right),\left(\dfrac{ay_1}{b},y_1\right)$，于是$$\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=x_1^2-\dfrac{a^2y_1^2}{b^2}=a^2.$$
题目
答案
解析
备注
