在等腰三角形 $ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 在线段 $AC$ 上，$AD=kAC$（$k$ 为常数，且 $0 < k < 1$），$BD=l$ 为定长，则 $\triangle ABC$ 的面积最大值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
如图．
设 $AB=x$，则\[AD=kAC=kx,\]于是根据海伦公式，有\[\begin{split}\triangle ABC&=\dfrac 1k\cdot \triangle ABD\\
&=\dfrac 1k\cdot \dfrac 14\sqrt{2k^2x^4+2x^2l^2+2k^2x^2l^2-x^4-k^4x^4-l^4}\\
&=\dfrac 1{4k}\cdot \sqrt{-\left(1-k^2\right)^2x^4+2\left(1+k^2\right)l^2x^2-l^4}\\
&\leqslant \dfrac 1{4k}\cdot \sqrt{\dfrac{-4\left(1-k^2\right)^2\cdot \left(-l^4\right)-4\left(1+k^2\right)^2}{-4\left(1-k^2\right)^2l^4}}\\
&=\dfrac 1{4k}\cdot \dfrac{2kl^2}{1-k^2}\\
&=\dfrac{l^2}{2\left(1-k^2\right)},\end{split}\]等号当\[x=\dfrac{\sqrt{1+k^2}\cdot l}{1-k^2}\]时取得，因此所求三角形面积的最大值为 $\dfrac{l^2}{2\left(1-k^2\right)}$．
设 $AB=x$，则\[AD=kAC=kx,\]于是根据海伦公式，有\[\begin{split}\triangle ABC&=\dfrac 1k\cdot \triangle ABD\\&=\dfrac 1k\cdot \dfrac 14\sqrt{2k^2x^4+2x^2l^2+2k^2x^2l^2-x^4-k^4x^4-l^4}\\
&=\dfrac 1{4k}\cdot \sqrt{-\left(1-k^2\right)^2x^4+2\left(1+k^2\right)l^2x^2-l^4}\\
&\leqslant \dfrac 1{4k}\cdot \sqrt{\dfrac{-4\left(1-k^2\right)^2\cdot \left(-l^4\right)-4\left(1+k^2\right)^2}{-4\left(1-k^2\right)^2l^4}}\\
&=\dfrac 1{4k}\cdot \dfrac{2kl^2}{1-k^2}\\
&=\dfrac{l^2}{2\left(1-k^2\right)},\end{split}\]等号当\[x=\dfrac{\sqrt{1+k^2}\cdot l}{1-k^2}\]时取得，因此所求三角形面积的最大值为 $\dfrac{l^2}{2\left(1-k^2\right)}$．
题目
答案
解析
备注
