已知集合 $A=\{x\in\mathbb R\mid x^2-2ax+2a^2+2=0\}$，$B=\{x\in\mathbb R\mid {\log_2}(x^2-2x+5)\geqslant a\}$，若 $A\cap\complement_{\mathbb R}B$ 不是 $A\cup\complement_{\mathbb R}B$ 的真子集，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由于\[x^2-2ax+2a^2+2=(x-a)^2+a^2+1>0,\]于是 $A=\varnothing$，因此\[A\cap\complement_{\mathbb R}B=\varnothing,\]该集合不是 $A\cup\complement_{\mathbb R}B$ 的真子集，于是\[A\cup\complement_{\mathbb R}B=\varnothing,\]因此 $B=\mathbb R$，也即\[\forall x\in\mathbb R,{\log_2}\left(x^2-2x+5\right)\geqslant a,\]解得实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$．
题目
答案
解析
备注
