当 $a,b,c$ 均为正实数时，给出以下三个不等式：
① $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}$；
② $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$；
③ $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$；
其中，一定成立的不等式的个数是 \((\qquad)\)
① $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}$；
② $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$；
③ $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$；
其中，一定成立的不等式的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
在顶角均为 $\dfrac{\pi}3$ 的三面角 $P-abc$ 的三条棱上分别取 $A,B,C$，使得 $PA=a$，$PB=b$，$PC=c$，则在 $\triangle ABC$ 中有\[AB<BC+CA,\]于是\[\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2},\]进而有\[\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2+a^2},\]以及\[\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}.\]
题目
答案
解析
备注
