已知 $\triangle ABC$ 所在平面上的点 $P_n$ 满足 $\triangle P_nAB$ 与 $\triangle P_nAC$ 的面积比为 $3:1$，$\overrightarrow{P_nA}=\dfrac{x_{n+1}}3\overrightarrow{P_nB}-(2x_n+1)\overrightarrow{P_nC}$，其中 $\{x_n\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列，则 $x_4$ 等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题意，有\[\overrightarrow{P_nA}-\dfrac{x_{n+1}}3\overrightarrow{P_nB}+(2x_n+1)\overrightarrow{P_nC}=\overrightarrow 0,\]于是\[\dfrac{\triangle P_nAB}{\triangle P_nAC}=\dfrac{2x_n+1}{-\dfrac{x_{n+1}}3}=-3,\]因此\[x_{n+1}=2x_n+1,\]于是\[\begin{array}{c|cccc}\hline
n&1&2&3&4\\ \hline
x_n&1&3&7&15\\ \hline\end{array}\]
n&1&2&3&4\\ \hline
x_n&1&3&7&15\\ \hline\end{array}\]
题目
答案
解析
备注
