当 $a,b,c$ 均为正实数时，给出以下三个不等式：
① $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}$；
② $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$；
③ $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$；
其中，一定成立的不等式的个数是 \((\qquad)\)
① $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}$；
② $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$；
③ $\sqrt{a^2-ab+b^2}<\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}$；
其中，一定成立的不等式的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
根据闽科夫斯基不等式，有\[\begin{split}\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}&=\sqrt{\left(b-\dfrac c2\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2c\right)^2}+\sqrt{\left(\dfrac c2+\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2a-\dfrac{\sqrt 3}2c\right)^2}\\
&\geqslant\sqrt{\left(b+\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2a\right)^2}\\
&=\sqrt{b^2+ab+a^2}\\
&>\sqrt{a^2-ab+b^2},\end{split}\]进而 ①②③ 均成立．
&\geqslant\sqrt{\left(b+\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt 3}2a\right)^2}\\
&=\sqrt{b^2+ab+a^2}\\
&>\sqrt{a^2-ab+b^2},\end{split}\]进而 ①②③ 均成立．
题目
答案
解析
备注
