对操场上编号为 $1\sim 100$，全部面向主席台的学生依次进行以下操练：凡是编号为 $1$ 的倍数的学生向后转一次；凡编号为 $2$ 的倍数的学生再向后转一次；凡编号为 $3$ 的倍数的学生再向后转一次；$\cdots$；凡编号是 $100$ 的倍数的学生再向后转一次．经过这 $100$ 轮操作后，最后面向主席台的学生个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
① 若某个同学向后转的次数为奇数，则该同学最终背向主席台，若该同学向后转的次数为偶数，则最终面向主席台．
② 每个同学向后转的次数与其编号的正约数的个数有关．
③ 若学生的编号为完全平方数，则该数的正约数的个数为奇数，若编号不是完全平方数，则其正约数的个数为偶数．
综上三条考虑，最后背向主席台的学生个数即 $1\sim 100$ 内的完全平方数的个数，即 $10$，所以最终面向主席台的学生个数为 $90$．
② 每个同学向后转的次数与其编号的正约数的个数有关．
③ 若学生的编号为完全平方数，则该数的正约数的个数为奇数，若编号不是完全平方数，则其正约数的个数为偶数．
综上三条考虑，最后背向主席台的学生个数即 $1\sim 100$ 内的完全平方数的个数，即 $10$，所以最终面向主席台的学生个数为 $90$．
题目
答案
解析
备注
