在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=2$，$a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}$ $(n\in \mathbb N^{\ast})$，则 $a_{2005}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为 $a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}$，所以$$a_{n+1}\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+3}=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}.$$所以$$a_{n+3}-a_n=a_{n+1}\cdot a_{n+2}(a_{n+3}-a_n),$$即$$(a_{n+3}-a_n)(a_{n+1}\cdot a_{n+2}-1)=0,$$结合 $a_1=1$，$a_2=2$ 可得$$a_{n+3}-a_n=0.$$所以 $\{a_n\}$ 的周期为 $3$，进而可得$$a_{2005}=a_1=1.$$
题目
答案
解析
备注
