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在 ${\rm Rt}\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为它的三边，其中 $c$ 为斜边，且 $a+b+c=\sqrt 2(b+c)$，且三角形面积为 $2$，则其周长为 \((\qquad)\)
A: $2\sqrt 2$
B: $2+2\sqrt 2$
C: $4+2\sqrt 2$
D: 以上都不对
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
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    三角
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    解三角形
    >
    正弦定理
  • 知识点
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    三角
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    解三角形
    >
    三角形面积公式
【答案】
C
【解析】
解法一由题意知\[a=(\sqrt 2-1)(b+c),\]又因为 $a^2=c^2-b^2$，所以有$$(c-b)(c+b)=(\sqrt 2-1)^2(b+c)^2,$$化简得到\[c=\sqrt 2b,\]于是 $a=b$，结合面积的值知\[a=b=2,c=2\sqrt 2,\]得到三角形周长为 $4+2\sqrt 2$．
解法二由题意知 $(\sqrt 2+1)a=b+c$，由正弦定理知$$(\sqrt 2+1)\sin A=\sin B+\sin C=\cos A+1,$$两边平方得$$(3+2\sqrt 2)(1-\cos^2 A)=(1+\cos A)^2,$$解得\[\cos A=\dfrac{\sqrt 2}2,\]于是\[A=B=\dfrac{\pi}4,\]进而三角形面积为\[\dfrac 12a^2=2,\]解得\[a=b=2,c=2\sqrt 2,\]于是得到三角形周长为 $4+2\sqrt 2$．
题目 答案 解析 备注
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