已知函数 $f(x)=x-\ln(x+2)+{\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}$，若存在实数 $x_0$，使 $f(x_0)=3$ 成立，则实数 $a$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
设\[\begin{split} g(x)&=x-\ln(x+2),\\
h(x)&={\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x},\end{split}\]则 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=1-\dfrac{1}{x+2},\]于是当 $x=-1$ 时，函数 $g(x)$ 取得极小值，亦为最小值为\[g(-1)=-1.\]又根据均值不等式，有\[{\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}\geqslant 4,\]等号当且仅当 ${\rm e}^{x-a}=2$ 也即 $x=\ln 2+a$ 时取得．因此\[f(x)=g(x)+h(x)\geqslant 3,\]等号当且仅当\[x=-1=\ln 2+a\]时取得．从而根据题意，有\[a=-\ln 2-1.\]
h(x)&={\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x},\end{split}\]则 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=1-\dfrac{1}{x+2},\]于是当 $x=-1$ 时，函数 $g(x)$ 取得极小值，亦为最小值为\[g(-1)=-1.\]又根据均值不等式，有\[{\rm e}^{x-a}+4{\rm e}^{a-x}\geqslant 4,\]等号当且仅当 ${\rm e}^{x-a}=2$ 也即 $x=\ln 2+a$ 时取得．因此\[f(x)=g(x)+h(x)\geqslant 3,\]等号当且仅当\[x=-1=\ln 2+a\]时取得．从而根据题意，有\[a=-\ln 2-1.\]
题目
答案
解析
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