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在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $P$ 在正方体表面运动，$P$ 不与 $A$ 重合，如果 $\triangle ABD_1$ 的面积与 $\triangle PBD_1$ 的面积相等，那么这样的点 $P$ 个数为 \((\qquad)\)
A: $1$
B: $3$
C: $5$
D: 无数
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间位置关系
    >
    点线面的位置关系
【答案】
C
【解析】
根据题意，$P$ 点到正方体的体对角线 $BD_1$ 的距离与 $A$ 点到 $BD_1$ 的距离相同，因此 $P$ 点在以 $BD_1$ 为轴，$d(A,BD_1)$ 为半径的圆柱面上．如图，考虑到正方体绕直线 $BD_1$ 旋转形成的曲面由圆锥面和双曲面（异面直线绕其中一条旋转形成）构成，因此公共点共有 $5$ 个，为除 $A,B,D_1$ 以外的正方体的顶点．
题目 答案 解析 备注
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