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已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，$g(x)=3x^2+2ax+b$．若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，则下列说法正确的是 \((\qquad)\) ．
A: $f(0)\cdot f(1)\leqslant 0$
B: $g(0)\cdot g(1)\geqslant 0$
C: $a^2-3b$ 有最小值
D: 以上说法都不对
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    微积分初步
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    利用导数研究函数的性质
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    利用导数研究函数的单调性
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    三次函数的单调性
【答案】
BC
【解析】
A错误；B正确．C 有以下思路．
思路一 $g(0)\leqslant 0$，$g(1)\leqslant 0$，利用规划即得．
思路二注意到 $a^2-3b=\dfrac 14\Delta$，而$$\left|x_1-x_2\right|=\dfrac{\sqrt\Delta}{3},$$再利用 $\left|x_1-x_2\right|\geqslant 1$ 即得．
思路三注意到 $g(x)$ 的开口大小固定，而最小值只与判别式有关．
思路四注意到规划边界封闭，因此 $a^2-3b$ 必然存在最小值．
题目 答案 解析 备注
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