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已知 $A(0,1)$，$B(1,0)$，$C(t,0)$，点 $D$ 是直线 $AC$ 上的动点，若 $AD\leqslant 2 BD$ 恒成立，则实数 $t$ 的值可能为 \((\qquad)\) ．
A: $2\sqrt3$
B: $4$
C: $\dfrac12$
D: $-1$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    圆
    >
    圆的定义
    >
    阿波罗尼斯圆
【答案】
BD
【解析】
先探索满足条件 $AD\leqslant 2 BD$ 的 $D$ 所在的范围为一个阿波罗尼斯圆及其外部：$$\left(x-\dfrac 43\right )^2+\left(y+\dfrac 13\right)^2\geqslant \dfrac 89,$$利用该圆心到直线 $AC$ 的距离不小于半径，得到直线 $AC$ 的斜率范围，从而求得 $t$ 的范围为$$t\geqslant 2+\sqrt 3\lor t\leqslant 2-\sqrt 3.$$
题目 答案 解析 备注
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