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设 $A,B$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{m}=1$ 长轴的两个端点，若 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $\angle AMB=120^\circ$，则 $m$ 的取值可能是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac12$
B: $\dfrac32$
C: $\dfrac{17}{2}$
D: $\dfrac{19}{2}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
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【答案】
AD
【解析】
根据椭圆的垂径定理的推论，可得直线 $MA,MB$ 的斜率 $k_1,k_2$ 满足\[k_1\cdot k_2=-\dfrac m3,\]而 $\angle AMB=120^\circ$ 等价于直线 $MA$ 与直线 $MB$ 的夹角为 $60^\circ$，从而\[\left|\dfrac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\sqrt 3,\]也即\[\left|k_1+\dfrac{m}{3k_1}\right|=\left|\sqrt 3-\dfrac{m}{\sqrt 3}\right|,\]该方程有解即\[\left|\sqrt 3-\dfrac{m}{\sqrt 3}\right|\geqslant 2\sqrt{\dfrac{m}{3}},\]也即\[(3-m)^2\geqslant 4m,\]解得 $m$ 的取值范围是 $\left(0,1\right]\cup \left[9,+\infty\right)$．
题目 答案 解析 备注
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