函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=6\left(x+\dfrac{\sqrt 2}2\right)\left(x-\dfrac{\sqrt 2}2\right),$$于是函数 $f(x)$ 在 $\left[-2,-\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,1\right]$ 上单调递增，在 $x=-\dfrac{\sqrt 2}2$ 处取得极大值为 $\sqrt 2$，在 $x=1$ 处的函数值为 $f(1)=-1$，因此函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,1]$ 上的最大值为$$\max\left\{f\left(-\dfrac{\sqrt 2}2\right),f(1)\right\}=\max\left\{\sqrt 2,-1\right\}=\sqrt 2.$$设过点 $P(1,t)$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相切，且切点横坐标为 $m$，则切线方程为$$y=(6m^2-3)(x-m)+2m^3-3m,$$切线经过点 $(1,t)$，因此$$t=(6m^2-3)(1-m)+2m^3-3m,$$即 $t=-4m^3+6m^2-3$．
令 $g(m)=-4m^3+6m^2-3$，则函数 $g(m)$ 的导函数$$g'(m)=12m(1-m),$$于是函数 $g(m)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减．
依题意，直线 $y=t$ 与函数 $g(m)$ 的图象有三个不同的公共点，因此 $t$ 的取值范围为 $\left(g(0),g(1)\right)$，即 $(-3,-1)$．
过点 $A(-1,2)$ 存在 $3$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切；
过点 $B(2,10)$ 存在 $2$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切；
过点 $C(0,2)$ 存在 $1$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切．