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过点 $A(-4,0)$ 向椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 引两条切线，切点分别为 $B,C$，若 $\triangle ABC$ 为正三角形，则当 $ab$ 最大时，椭圆的方程是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1$
B: $\dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1$
C: $\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{3}=1$
D: 以上答案都不对
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的方程
    >
    椭圆的参数方程
【答案】
A
【解析】
根据题意，其中一条切线方程为 $x+\sqrt 3y+4=0$，设对应切点为 $(a\cos\theta,b\sin\theta)$，且 $\theta\in[0,2\pi)$，则\[a\cos\theta+\sqrt 3b\sin\theta+4=0\]有唯一解，因此\[a^2+3b^2=16,\]于是\[16=a^2+3b^2\geqslant 2\sqrt 3 ab,\]等号当且仅当 $\left(a^2,b^2\right)=\left(8,\dfrac 83\right)$ 时取得，因此所求椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}8+\dfrac{3y^2}8=1$．
题目 答案 解析 备注
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