若集合 $\{\sin\alpha,\cot\alpha,1\}$ 和 $\left\{\sin^2\alpha,\sin\alpha+\cos\alpha,0\right\}$ 是相同的，则 $\sin^{2005}\alpha+\cos^{2005}\alpha$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
由集合元素的互异性可知$$\left(\sin\alpha\neq 0 \right)\land\left(\sin\alpha\neq 1\right),$$由于两集合相等则有$$\begin{cases} \sin\alpha=\sin\alpha+\cos\alpha,\\
\cot\alpha=0,\\
\sin^2\alpha=1, \end{cases}$$解得$$\begin{cases} \sin\alpha=-1,\\
\cos\alpha=0, \end{cases}$$于是$$\sin^{2005}\alpha+\cos^{2005}\alpha=-1.$$因此D选项正确．
\cot\alpha=0,\\
\sin^2\alpha=1, \end{cases}$$解得$$\begin{cases} \sin\alpha=-1,\\
\cos\alpha=0, \end{cases}$$于是$$\sin^{2005}\alpha+\cos^{2005}\alpha=-1.$$因此D选项正确．
题目
答案
解析
备注
