已知一个三角形的三边满足：$(1)$ 各边均是整数；$(2)$ 最长的边为 $18$．则满足条件的三角形的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
设较小的两边长分别为 $x,y$，则 $x,y$ 满足如下约束条件$$\begin{cases} 1\leqslant x\leqslant 18,\\
1\leqslant y\leqslant 18,\\
x+y>18,\\
x\in\mathbb N^\ast,y\in\mathbb N^\ast.\end{cases}$$则符合题意的三角形的个数就是符合上述约束条件的点坐标 $(x,y)$ 的个数．
当 $x=1$，有 $1$ 个点；
当 $x=2$，有 $2$ 个点；
$\quad $ $\cdots$
当 $x=18$，有 $18$ 个点．因此共有$$1+2+\cdots+18=171$$点满足约束条件．其中关于直线 $y=x$ 对称的两个点所代表的三角形是一样的，故所求的三角形个数为$$\dfrac12\left(171+\dfrac{18}{2}\right)=90.$$因此A选项正确．
1\leqslant y\leqslant 18,\\
x+y>18,\\
x\in\mathbb N^\ast,y\in\mathbb N^\ast.\end{cases}$$则符合题意的三角形的个数就是符合上述约束条件的点坐标 $(x,y)$ 的个数．
当 $x=1$，有 $1$ 个点；
当 $x=2$，有 $2$ 个点；
$\quad $ $\cdots$
当 $x=18$，有 $18$ 个点．因此共有$$1+2+\cdots+18=171$$点满足约束条件．其中关于直线 $y=x$ 对称的两个点所代表的三角形是一样的，故所求的三角形个数为$$\dfrac12\left(171+\dfrac{18}{2}\right)=90.$$因此A选项正确．
题目
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备注
