椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 的焦点分别是 $F_1,F_2$，点 $P$ 在椭圆上，且点 $P$ 的横坐标是 $\dfrac{3}{\sqrt5}$，则 $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}$ 等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
设椭圆的离心率为 $e$，半长轴为 $a$，半焦距为 $c$，$P$ 点坐标为 $(x_0,y_0)$，易知$$ e=\dfrac{\sqrt5}{3},$$所以$$\begin{split} &|PF_1|=a+ex_0=4,\\
&|PF_2|=a-ex_0=2,\end{split}$$所以$$|PF_1|^2+|PF_2|^2=20=|F_1F_2|^2,$$因此 $PF_1\perp PF_2$，所以$$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0.$$所以A选项正确．
&|PF_2|=a-ex_0=2,\end{split}$$所以$$|PF_1|^2+|PF_2|^2=20=|F_1F_2|^2,$$因此 $PF_1\perp PF_2$，所以$$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0.$$所以A选项正确．
题目
答案
解析
备注
