已知 $MN$ 是过椭圆 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}5=1$ 的左焦点 $F$ 的直线（$M,N$ 在椭圆上），$A(1,0)$ 是椭圆长轴上的一个定点．直线 $MA,NA$ 分别交椭圆于 $P,Q$，求证：直线 $MN$ 与直线 $PQ$ 的斜率之比为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
定值为 $\dfrac 74$
【解析】
首先对椭圆的参数方程，有以下常用引理．设点 $A\left(a\cos{2\alpha},b\sin{2\alpha}\right)$，$B\left(a\cos{2\beta},b\sin{2\beta}\right)$，则直线 $AB$ 的方程为$$AB:y=-\dfrac{b}{a}\cdot \dfrac{1}{\tan\left(\alpha+\beta\right)}x+b\cdot\dfrac{1+\tan\alpha\cdot\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta},$$特别的，若直线 $AB$ 过点 $(m,0)$，那么有$$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\dfrac{m-a}{m+a}.$$设 $M,N,P,Q$ 四点对应的参数分别为 $2\theta_1,2\theta_2,2\theta_3,2\theta_4$，则由引理可得$$\tan\theta_1\cdot \tan\theta_3=\tan\theta_2\cdot \tan\theta_4=-\dfrac 12,\tan\theta_1\cdot \tan\theta_2=-5,$$从而$$\tan\theta_2=-\dfrac{5}{\tan\theta_1},\tan\theta_3=-\dfrac{1}{2\tan\theta_1},\tan\theta_4=\dfrac{\tan\theta_1}{10},$$因此所求斜率之比为$$\dfrac{\tan(\theta_1+\theta_2)}{\tan(\theta_3+\theta_4)}=\dfrac{\tan\theta_1+\tan\theta_2}{1-\tan\theta_1\cdot\tan\theta_2}\cdot\dfrac{1-\tan\theta_3\cdot\tan\theta_4}{\tan\theta_3+\tan\theta_4}=\dfrac 74$$为定值，原命题得证．
答案
解析
备注
