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已知 $m,n$ 为正数，且 $m\cdot n^{1+{\lg}m}=1$，则 $mn$ 的取值范围是  \((\qquad)\)
A: $(-2,2)$
B: $\left(10^{-2},100\right)$
C: $\left(0,10^{-4}\right]\cup[1,+\infty)$
D: $\left(0,10^{-4}\right)$
【难度】
【出处】
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
对 $m\cdot n^{1+{\lg}m}=1$ 两边同时取对数，得$${\lg}m+{\lg}n+{\lg}m{\lg}n=0,$$令 ${\lg}m=x$，则$${\lg}n=-\dfrac x{x+1},x\neq -1.$$所以$${\lg}mn=(x+1)+\dfrac1{x+1}-2,$$所以 ${\lg}mn$ 的取值范围为 $(-\infty,-4]\cup[0,+\infty)$，即有 $mn$ 的取值范围为$$\left(0,10^{-4}\right]\cup\left[1,+\infty\right).$$因此C选项正确．
题目 答案 解析 备注
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