证明：$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{k\cdot{\mathrm e}^k}<\ln\dfrac{\mathrm e}{{\mathrm e}-1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑级数$$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}n=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}n\right)'{\mathrm d}x=\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}\right){\mathrm d}x=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1-x}{\mathrm d}x=\ln\dfrac{1}{1-x},$$令 $x=\dfrac{1}{\mathrm e}$ 即得．
答案
解析
备注
