设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，$M$ 是 $C$ 上一点且 $MF_2$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $MF_1$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$．
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
-
若直线 $MN$ 的斜率为 $\dfrac34$，求 $C$ 的离心率；标注答案$e=\dfrac 12$解析设 $F_2(c,0)$，则半通径 $|MF_2|=\dfrac{b^2}a$，从而$$\dfrac{\big|MF_2\big|}{\big|F_1F_2\big|}=\dfrac{\frac{b^2}{a}}{2c}=\dfrac 34,$$将 $b^2=a^2-c^2$，以及 $e=\dfrac ca$ 代入整理得$$2e^2+3e-2=0,$$解得 $e=\dfrac 12$．
-
若直线 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距为 $2$，且 $|MN|=5|F_1N|$，求 $a,b$．标注答案所求 $a,b$ 的值分别为 $a=7$，$b=2\sqrt 7$解析根据题意 $M$ 点的纵坐标为 $MN$ 在 $y$ 轴上的截距的 $2$ 倍，得 $M(c,4)$．又 $\big|MN\big|=5\big|F_1N\big|$，从而 $\overrightarrow{F_1M}=-4\overrightarrow{F_1N}$，进而可得 $N\left(-\dfrac 32c,-1\right)$．于是由 $M,N$ 点均在椭圆上可得$$\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{16}{b^2}=1,\dfrac{9c^2}{4a^2}+\dfrac 1{b^2}=1,$$消去 $\dfrac{c^2}{a^2}$ 可得 $b^2=28$，即 $b=2\sqrt 7$．另一方面，$M$ 的纵坐标为 $\dfrac{b^2}a=4$，于是 $a=7$．
因此所求 $a,b$ 的值分别为 $a=7$，$b=2\sqrt 7$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
