已知函数 $f\left( x \right) ={{\mathrm {e}}^x}-{{\mathrm {e}}^{ - x}}- 2x$．
【难度】
【出处】
2014年高考新课标Ⅱ卷（理）
【标注】
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讨论 $f\left( x \right)$ 的单调性；标注答案$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增解析$f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\geqslant 2\cdot\sqrt{{\rm e}^x\cdot{\rm e}^{-x}}-2=0,$$于是 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．
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设 $g\left( x \right) = f\left({2x}\right) - 4bf\left( x \right)$，当 $x > 0$ 时，$g\left( x \right) > 0$，求 $b$ 的最大值；标注答案$b$ 的最大值为 $2$解析根据题意有$$g(x)={\rm e}^{2x}-{\rm e}^{-2x}-4x-4b\left({\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x\right),$$其导函数$$g'(x)=2{\rm e}^{2x}+2{\rm e}^{-2x}-4-4b\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2\right),$$即$$g'(x)=2\left({\rm e}^{x}+{\rm e}^{-x}-2\right)\cdot\left({\rm e}^x+{\rm e}^{-x}+2-2b\right),$$设 $h(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}+2-2b$，则由于 $h(0)=4-2b$，因此按 $b$ 和 $2$ 的大小关系展开讨论．
第一种情况，$b\leqslant 2$．此时在区间 $(0,+\infty )$ 上，$h(x)\geqslant{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2> 0$，于是当 $x>0$ 时，$g'(x)>0$，因此 $g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，又 $g(0)=0$，从而 $g(x)>0$，符合题意；
第二种情况，$b>2$．此时在区间 $(0,+\infty )$ 上函数 $h(x)$ 存在零点 $x=\varphi$，其中 $\varphi$ 是关于 $x$ 的方程$${\rm e}^x+{\rm e}^{-x}+2-2b=0$$的根，即 $\varphi=\ln\left(b-1+\sqrt{b^2-2b}\right)$．注意到 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}>0,$$于是 $h(x)$ 单调递增，因此在区间 $(0,\varphi)$ 上 $h(x)<0$，即 $g'(x)<0$，因此 $g(x)$ 单调递减，又 $g(0)=0$，从而 $g(x)<0$，不符合题意．
综上，$b$ 的最大值为 $2$． -
已知 $1.4142 < \sqrt 2 < 1.4143$，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 $0.001$）．标注答案$\ln 2>\dfrac{8\sqrt 2-3}{12}>0.6928$解析为了估计 $\ln 2$ 的近似值，我们计算$$g(\ln\sqrt 2)=(4b-2)\ln 2+\dfrac 32-2\sqrt 2b.$$首先用 $\dfrac 12<b\leqslant 2$ 的情形估计下界．此时在 $(0,+\infty)$ 上均有 $g(x)>0$，于是有 $g(\ln\sqrt 2)>0$，即$$\ln 2>\dfrac{2\sqrt 2b-\dfrac 32}{4b-2},$$注意到不等式右边当 $\dfrac 12<b \leqslant 2$ 时，最大值在 $b=2$ 处取得，因此$$\ln 2>\dfrac{8\sqrt 2-3}{12}>0.6928.$$接下来用 $b>2$ 的情形估计上界．此时在 $(0,\varphi]$ 上均有 $g'(x)\leqslant 0$，于是有 $g(x)<0$．取 $\varphi=\ln\sqrt 2$，则 $b=\dfrac{3\sqrt 2}4+1$，此时可得 $g(\ln \sqrt 2)=g(\varphi)<0$，即$$\ln 2<\dfrac{4\sqrt 2b-3}{4(2b-1)}=\dfrac{18+\sqrt 2}{28}<0.6934.$$综上，$\ln 2$ 的近似值为 $0.693$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
