已知坐标平面内点 $P(x_0,y_0)$，直线 $l:Ax+By+C=0$，求点 $P$ 关于直线 $l$ 对称的点的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(x_0-2A\cdot \dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2},y_0-2B\cdot \dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\right)$
【解析】
设点 $P$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $Q$，线段 $PQ$ 与直线 $l$ 的公共点为 $M$，则直线 $l$ 的法向量 $\overrightarrow{n}=(A,B)$ 就是直线 $PQ$ 的方向向量．设直线 $PQ$ 的参数方程为\[\begin{cases}
x=x_0+At,\\ y=y_0+Bt,\end{cases}\]点 $M$ 对应的参数为 $t_0$，则有\[A\left(x_0+At_0\right)+B\left(y_0+Bt_0\right)+C=0,\]解得\[t_0=-\dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}.\]显然，点 $Q$ 对应的参数为 $2t_0$，于是坐标为\[\left(\dfrac{(B^2-A^2)x_0-2ABy_0-2AC}{A^2+B^2},\dfrac{(A^2-B^2)y_0-2ABx_0-2BC}{A^2+B^2}\right),\]也即\[\left(x_0-2A\cdot \dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2},y_0-2B\cdot \dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\right).\]
x=x_0+At,\\ y=y_0+Bt,\end{cases}\]点 $M$ 对应的参数为 $t_0$，则有\[A\left(x_0+At_0\right)+B\left(y_0+Bt_0\right)+C=0,\]解得\[t_0=-\dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}.\]显然，点 $Q$ 对应的参数为 $2t_0$，于是坐标为\[\left(\dfrac{(B^2-A^2)x_0-2ABy_0-2AC}{A^2+B^2},\dfrac{(A^2-B^2)y_0-2ABx_0-2BC}{A^2+B^2}\right),\]也即\[\left(x_0-2A\cdot \dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2},y_0-2B\cdot \dfrac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}\right).\]
答案
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备注
