已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的长轴上（不包含端点）有点 $M(m,0)$（$-a<m<a$），过 $M$ 作互相垂直线的两条弦 $AC,BD$，探索凸四边形 $ABCD$ 的面积的取值范围，研究当 $m$ 取什么值时，该取值范围较容易求出．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{4b^4}{a^2+b^2},\dfrac{2b^3}{a}\right]$
【解析】
设 $AC:x=ty+m$，将弦 $AC$ 与椭圆 $E$ 的长轴重合的情形视为 $t\to +\infty$ 的情形，则联立直线与椭圆方程可得$$\left(\dfrac{t^2}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)y^2+\dfrac{2mt}{a^2}y+\dfrac{m^2}{a^2}-1=0,$$于是$$|AC|=\dfrac{2ab\sqrt{(1+t^2)(b^2t^2+a^2-m^2)}}{b^2t^2+a^2},$$进而$$|BD|=\dfrac{2ab\sqrt{(1+t^2)[(a^2-m^2)t^2+b^2]}}{a^2t^2+b^2},$$这样就有凸四边形 $ABCD$ 的面积$$S=\dfrac{1}{2}|AC|\cdot |BD|=\dfrac{2a^2b^2(1+t^2)\sqrt{(b^2t^2+a^2-m^2)[(a^2-m^2)t^2+b^2]}}{(b^2t^2+a^2)(a^2t^2+b^2)},$$令 $\lambda=\dfrac{b^2}{a^2}$，$\mu=1-\dfrac{m^2}{a^2}$，$x=t^2+\dfrac{1}{t^2}$，则$$S=2a^2\sqrt{\lambda\mu}\cdot \sqrt{\dfrac{(x+2)\left(x+\dfrac{\mu}{\lambda}+\dfrac{\lambda}{\mu}\right)}{\left(x+\lambda+\dfrac{1}{\lambda}\right)^2}},$$特别地，当 $\lambda =\mu $ 即 $m=\pm c$ 时，有$$S=2b^2\cdot \dfrac{x+2}{x+\dfrac{b^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}},$$此时 $S$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{8a^2b^4}{(a^2+b^2)^2},2b^2\right]$．
当 $\mu=\lambda^2$ 即 $m=\pm \dfrac ca\cdot \sqrt{a^2+b^2}$ 时，有$$S=2a^2\sqrt{\lambda^3}\cdot \sqrt{\dfrac{x+2}{x+\lambda +\dfrac{1}{\lambda}}},$$此时 $S$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{4b^4}{a^2+b^2},\dfrac{2b^3}{a}\right]$．
当 $\mu=\lambda^2$ 即 $m=\pm \dfrac ca\cdot \sqrt{a^2+b^2}$ 时，有$$S=2a^2\sqrt{\lambda^3}\cdot \sqrt{\dfrac{x+2}{x+\lambda +\dfrac{1}{\lambda}}},$$此时 $S$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{4b^4}{a^2+b^2},\dfrac{2b^3}{a}\right]$．
答案
解析
备注
