求证：$x-\ln x-\dfrac{\ln x}x-\dfrac 12>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式即$$\ln x<\dfrac{x\left(x-\dfrac 12\right)}{x+1}=x-\dfrac 32+\dfrac{3}{2(x+1)},$$于是当 $x<2$ 时，有$$x-\dfrac 32+\dfrac{3}{2(x+1)}>x-1\geqslant \ln x.$$当 $x\geqslant 2$ 时，考虑到对勾函数 $g(x)=x-\dfrac 32+\dfrac{3}{2(x+1)}$ 下凸，因此取其在 $x=1$ 处的切线，我们有辅助不等式$$x-\dfrac 32+\dfrac{3}{2(x+1)}\geqslant \dfrac 58(x-1)+\dfrac 14=\dfrac 58x-\dfrac 38,$$辅助不等式的证明从略．进而有当 $x\geqslant 2$ 时，$$\dfrac 58x-\dfrac 38>\dfrac{1}{\rm e}x\geqslant \ln x,$$因此原不等式亦成立．
综上所述，原不等式得证．
综上所述，原不等式得证．
答案
解析
备注
