在 $\triangle ABC$ 中，$a,b,c$ 为等差数列，若 $A-C=\dfrac{\pi}2$，求 $a:b:c$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$$a:b:c=(\sqrt 7+1):\sqrt 7:(\sqrt 7-1).$$
【解析】
不妨设 $a,b,c$ 分别为 $x+1,x,x-1$，则$$\cos A=\dfrac{x^2+(x-1)^2-(x+1)^2}{2x(x-1)}=\dfrac{x-4}{2(x-1)},$$而$$\cos C=\dfrac{x^2+(x+1)^2-(x-1)^2}{2x(x+1)}=\dfrac{x+4}{2(x+1)},$$根据题意，有$$\cos^2A +\cos^2 C=1,$$于是$$\left(\dfrac{x-4}{x-1}\right)^2+\left(\dfrac{x+4}{x+1}\right)^2=4,$$整理得$$(x^2-7)(x^2+2)=0,$$解得 $x=\sqrt 7$．
于是$$a:b:c=(\sqrt 7+1):\sqrt 7:(\sqrt 7-1).$$
于是$$a:b:c=(\sqrt 7+1):\sqrt 7:(\sqrt 7-1).$$
答案
解析
备注
