已知 $MN$ 是圆 $O$ 的一条弦，$R$ 是弦 $MN$ 的中点，过 $R$ 作两弦 $AB,CD$，过 $A,B,C,D$ 的二次曲线交 $MN$ 于 $P,Q$，则 $R$ 平分二次曲线的弦 $PQ$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设圆 $O:F(x,y)=0$，直线 $AB:f_1(x,y)=0$，直线 $CD:f_2(x,y)=0$．相交直线 $AB\cup CD$ 的方程为$$f_1(x,y)\cdot f_2(x,y)=0,$$于是经过 $A,B,C,D$ 四点的二次曲线可以写成$$\Phi:F(x,y)+\lambda\cdot f_1(x,y)\cdot f_2(x,y)=0.$$以 $MN$ 为 $x$ 轴，$OR$ 为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，则可设$$F(x,y)=x^2+y^2+by+c,f_1(x,y)=a_1x+b_1y,f_2(x,y)=a_2x+b_2y,$$于是$$\Phi:x^2+y^2+by+c+\lambda\cdot (a_1x+b_1y)(a_2x+b_2y)=0,$$因此曲线 $\Phi$ 与 $x$ 轴的交点坐标满足方程$$\left(1+\lambda a_1a_2\right)x^2+c=0,$$该方程的两根之和为 $0$，于是原命题得证．
答案
解析
备注
